Análise matemática I

Abstract

Bem-vindo ao módulo ANÁLISE MATEMÁTICA I “...E nunca considere seu estudo como uma obrigação, mas sim como uma oportunidade invejável de aprender, sobre a influência libertadora da beleza no domı́nio do espı́rito, para seu prazer pessoal e para o proveito da comunidade à qual pertencerá o seu trabalho futuro.” Albert Einstein Nos dias atuais, a principal ferramenta utilizada para auxiliar o pensamento é o computador. Esse instrumento foi desenvolvido principalmente por engenhei- ros, fı́sicos e matemáticos. Na primeira metade do século XX, a história das máquinas de computação envolveu mais estatı́sticos, fı́sicos e engenheiros elétricos do que matemáticos. As máquinas de calcular de mesa e os sistemas de cartões perfurados eram indispensáveis para negócios, bancos e ciências sociais. A régua de calcular tornou-se o sı́mbolo do engenheiro, e integradores de vários tipos eram usados por fı́sicos, geodesistas e estatı́sticos. A situação mudou por volta de 1940 devido ao envolvimento de matemáticos no esforço de guerra. Embora a maior parte do esforço viesse de fı́sicos e engenheiros, muitos matemáticos jovens desempenharam um papel importante no desenvolvimento do computador eletrônico digital automático. Três desses matemáticos notáveis são John Von Neumann (1903-1957), Norbert Wiener (1894-1964) e Alan Turing (1913-1954). A sociedade atual atribui extrema importância ao computador. Profissionais como cientistas e engenheiros de computação, programadores, analistas de sistemas, entre outros, ocupam posições de destaque graças a essa ferramenta. Todos esses profissionais baseiam-se em disciplinas como lógica, algoritmos, estrutura de dados, matemática discreta, geometria, estatı́stica, entre outras, que foram desenvolvidas ao longo dos séculos anteriores. Um profissional de computação que possui conhecimentos em matemática é capaz de resolver problemas complexos, apresentando soluções claras, organizadas, criativas e eficientes. As empresas estão cada vez mais em busca de profissionais com esse perfil, pois os desafios atuais são cada vez maiores e exigem conhecimentos mais sólidos. A geometria desempenha um papel fundamental no processo criativo desses profissionais, pois facilita a abstração do mundo real, permitindo a criação de novos modelos com facilidade e precisão. No dinâmico universo da era atual, é imprescindı́vel possuir conhecimentos básicos, especialmente para profissionais da área de computação, independen- temente de serem mais técnicos ou voltados ao gerenciamento de projetos. Essa base de conhecimento é um diferencial para aqueles que buscam o sucesso e, ao mesmo tempo, é fundamental para a sobrevivência no mundo atual, onde a quantidade de informações é imensa e os avanços tecnológicos são extremamente rápidos. Podemos afirmar, portanto, que para compreender o mundo contemporâneo é necessário acompanhá-lo, e nesse sentido, a matemática aliada à computação se tornou uma linguagem indispensável. O presente módulo Análise Matemática I é composto de dez unidades. Cada unidade tem uma componente teórica, reforçada de exemplos claros e ilustrativos, que permitem assimilar rapidamente os conceitos, definições e teoremas expostos. Seguem-se exercı́cios de aprofundamento e consolidação do material. No final de cada unidade temos exercı́cios e perguntas para autoavaliação. O limite e continuidade são ideias chaves na Matemática. A expressão contı́nuo é comum mesmo na linguagem quotidiana. Usamos esta palavra, em particular, para caracterizar mudanças que são mais graduais do que espontâneas. O seu uso está mais relacionado com a ideia duma função contı́nua. Nas aplicações da Matemática nas ciências naturais e económicas, uma função representa habitualmente a variação de certo fenómeno ao longo do tempo. A continuidade da função irá então reflectir a continuidade do fenómeno no sentido dum desenvolvimento gradual sem variações repentinas. Podemos, por exemplo, modelar a temperatura do corpo humano como uma função do tempo. Aqui podemos assumir que ela varia continuamente e que não salta dum valor para outro sem passar através dos valores intermediários. Por outro lado, se considerarmos o preço do barril de petróleo num certo mercado, esta função do tempo será descontı́nua. Uma razão para isto é que o preço (medido em dólares ou numa outra moeda) deve sempre ser um número racional. Outra razão, mais interessante, para saltos ocasionais enormes no preço é a repentina chegada de notı́cias ou rumores que afectam significativamente a função da procura ou da oferta, por exemplo uma mudança brusca no governo dum paı́s exportador de petróleo. Um dos tópicos importante em muitas disciplinas cientı́ficas é o estudo de quanto rapidamente as quantidades variam ao longo do tempo. De modo a calcular a posição futura dum planeta, prognosticar o crescimento da população duma espécie biológica ou avaliar a procura futura duma mercadoria, precisamos de informação sobre as taxas de variação. O conceito usado para descrever a taxa de variação duma função é a derivada, que é conceito central da Análise Matemática. Isaac Newton (1642–1727) e Gottfried Leibniz (1646–1716) são os fundadores do Cálculo Diferencial e Integral, que se tornou o fundamento para o desenvolvimento da ciência contemporânea. Encontrar a melhor forma de realizar uma tarefa concreta envolve o que chamamos problema de optimização. Os exemplos abundam em quase todas as áreas da actividade humana: um gestor procura por aquelas combinações de factores (tais como capital e trabalho) que maximizam os lucros ou minimizam os custos, um médico pode querer saber quando é o melhor momento do dia para injectar uma droga de modo a evitar que a concentração no fluxo sanguı́neo se torne perigosamente alta, um agricultor pode querer saber que quantidade de fertilizante, por metro quadrado, irá maximizar os lucros, uma companhia petrolı́fera pode desejar calcular a taxa óptima de extracção num dos seus poços e etc. Ao estudarmos um problema de optimização deste tipo, usando métodos matemáticos, requer que se construa um modelo matemático para o problema. Isto não é, normalmente, assim tão fácil de fazer e somente em casos simples o modelo conduz ao problema de maximização ou minimização duma função a uma variável. As aulas são teórico-práticas pelo que são compostas de: uma parte expositiva, onde são apresentados conceitos fundamentais das diferentes matérias do programa juntamente com a demonstração dos principais resultados, pretendendo-se assim que os alunos adquiram uma visão global dos temas abordados e suas interligações; uma componente prática, onde os alunos aplicarão os conhecimentos adquiridos melhorando a sua compreensão das matérias leccionadas.